曲率半径を計算する式を考える【曲率】 |
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2020-03-10
曲率半径を計算する式を考える【曲率】
幾何学
解析学
はじめに 全記事をまとめてあります. ぜひ下のリンクから確認してください. uchii-memo.hatenablog.com
この記事の目的:「曲率半径」を理解する. はじめに 曲率半径の意味 曲率半径の正負 曲率半径の大小 曲率半径の計算方法 陽関数表示 の場合 媒介変数(パラメータ)表示 の場合 曲率半径の計算 曲率 まとめ 最後に
曲率半径の意味 意味:曲線の微小な一部分を円弧とみなしたときその円弧の半径
曲線上の点から曲線に沿ってだけ移動した点をとする.部分を円弧とみなし,その円弧の中心を点,角をとする. このとき, 円の半径 と表すことができる. ここで極限をとると,
曲率半径 曲率半径の正負 式を見ればわかるが,曲率半径は正負どちらの値もとり得る. 半径が負値とは直観に反するが,しっかりと意味を持つ.
正負が持つ意味: 正負によって曲がる方向(の方向)を区別できる. ・(正値):半時計周りの向きに曲がる ・(負値):時計周りの向きに曲がる 曲率半径の大小 曲率半径が大きいほど,曲がりが緩やかである. 曲率半径が小さいほど,曲がりは急である. 曲率半径の計算方法 課題:,を具体化する.
点から伸びる接線と軸がなす角をとすると, 点から伸びる接線と軸がなす角はとなる. よって,は接線の傾きの増加分に対応するといえる. 陽関数表示 の場合 対象: と表される曲線 点から伸びる接線の傾きは, なので, (両辺同時に変形しています.)
…(2)
式(1)(2)より,
媒介変数(パラメータ)表示 の場合 対象: で表される曲線
点から伸びる接線の傾きは, (両辺同時に変形しています.)
…(2)
(1),(2)より,
曲率半径の計算 例題1 のにおける曲率半径を求めよ. より, ,なので,
もっと具体的に, を考える.
例題2 , で表される曲線の曲率半径を求めよ. より, ,,,なので,
もっと具体的に のときを考える. 曲率 意味:曲線上のある点における曲がり具合を表す指標
曲率半径の大小は以下のことを表していた. 曲率半径が大きいほど,曲がりが緩やか. 曲率半径が小さいほど,曲がりは急.
しかしこの関係はあまり直観的ではない. 「大きければ曲がりが急」「小さければ曲がりが緩やか」 このほうが計算値と曲がり具合の関係性が直観的に理解できる.
よって曲率半径の逆数をとることにした.これに「曲率」と名前をつけた. 曲率 まとめ ・曲率半径 1. で表記できる曲線について
2. パラメータ表示()で表記できる曲線について
・曲率:曲がり具合を示す指標
最後に 全記事をまとめてあります. ぜひ下のリンクから確認してください. uchii-memo.hatenablog.com uchii-room 2020-03-10 01:01 読者になる 広告を非表示にする もっと読む コメントを書く |
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